Уравнения содержащие выражения под знаком модуля

Уравнения с модулем | Решение задач по математике и другим предмета

уравнения содержащие выражения под знаком модуля

Уравнения с модулем вида:|x|=a; |x|=|y|; |x|=y. Метод интервалов в задачах с модулем. частей уравнения на общий множитель, содержащий неизвестную, может . При x выражение под знаком модуля отрицательно и, следователь-. Например: так как выражение под знаком модуля.

Как решать уравнения с модулем: основные правила

Как быть в таком случае? Во-первых, надо раз и навсегда понять, что если правая часть уравнения окажется отрицательной, то уравнение не будет иметь корней — мы уже знаем, что модуль не может быть равен отрицательному числу.

А во-вторых, если права часть всё-таки положительна или равна нулюто можно действовать точно так же, как раньше: В конце концов, можно тупо подставить корни, которые мы получим из первого уравнения, и проверить: Поэтому решим-ка само уравнение: Поэтому в ответ пойдут два числа: Вот и всё решение.: Подозреваю, что кто-то из учеников уже начал скучать?

Что ж, рассмотрим ещё более сложное уравнение: Пока лучше займёмся полученными уравнениями.

Подготовка к ЕГЭ. 53. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля

А получится вот что: Ну и что из этого набора пойдёт в окончательный ответ? Для этого вспомним, что у нас есть дополнительное ограничение в виде неравенства: Да просто подставим найденные корни и проверим: И в ответ пойдут лишь два корня: Нужно лишь хорошо разбираться в многочленах и неравенствах.

Поэтому переходим к более сложным задачам — там уже будет не один, а два модуля. Уравнения с двумя модулями До сих пор мы изучали лишь самые простые уравнения — там был один модуль и что-то ещё. Но детский сад закончился — пора рассмотреть что-нибудь посерьёзнее. Начнём с уравнений вот такого типа: Принципиально важным моментом является отсутствие других слагаемых и множителей: Кто-нибудь сейчас подумает, что такие уравнения решаются сложнее, чем то, что мы изучали до сих пор. А вот и нет: А затем решаем полученные два уравнения — и корни готовы!

Никаких дополнительных ограничений, никаких неравенств и.

Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля /qualihelpy

Давайте попробуем решать вот такую задачу: Потому и нет корней.: Со вторым уравнением всё чуть интереснее, но тоже очень и очень просто: В итоге окончательный ответ: Поэтому сразу переписываем его, раскрывая знак модуля: Действительно, по-хорошему мы должны были переписать наше уравнение следующим образом: Но ведь ничто не мешает нам переписать исходное уравнение следующим образом: Мелочь, которая в итоге немного упростит нам жизнь.: В общем, решаем это уравнение, рассматривая варианты с плюсом и с минусом: Второе вообще является точным квадратом: Но этот корень мы уже получали ранее.

Таким образом, в итоговый ответ пойдут лишь два числа: Можно взять с полки и скушать пирожок. Там их 2, ваш средний.: Наличие одинаковых корней при разных вариантах раскрытия модуля означает, что исходные многочлены раскладываются на множители, и среди этих множителей обязательно будет общий.

Теперь, если собрать все модули с одной стороны, то можно вынести этот множитель за скобку: Такие уравнения решаются буквально в пару строчек.: Данное замечание, возможно, покажется излишне сложным и неприменимым на практике. Однако в реальности вам могут встретиться куда более сложные задачи, нежели те, что мы сегодня разбираем.

В них модули могут комбинироваться с многочленами, арифметическими корнями, логарифмами и.

уравнения содержащие выражения под знаком модуля

И в таких ситуациях возможность понизить общую степень уравнения путём вынесения чего-либо за скобку может оказаться очень и очень кстати.: Теперь хотелось бы разобрать ещё одно уравнение, которое на первый взгляд может показаться бредовым. Тем не менее, это уравнение решается даже проще, чем то, что мы рассматривали ранее. И если вы поймёте почему, то получите ещё один приём для быстрого решения уравнений с модулями.

В чём вообще проблема? А проблема в том, что каждый модуль — число положительное, либо в крайнем случае ноль. А что будет, если сложить два положительных числа? Очевидно, снова положительное число: Только в одном случае — когда подмодульное выражение равно нулю: Однако нам нужно, чтобы оба модуля обнулялись одновременно, поэтому среди найденных чисел нужно выбрать те, которые входят в оба набора.

Очевидно, такое число лишь одно: Метод расщепления Что ж, мы уже рассмотрели кучу задач и изучили множество приёмов. Думаете, на этом всё? А вот и нет! Сейчас мы рассмотрим заключительный приём — и одновременно самый важный. Речь пойдёт о расщеплении уравнений с модулем. О чём вообще пойдёт речь?

уравнения содержащие выражения под знаком модуля

Давайте вернёмся немного назад и рассмотрим какое-нибудь простое уравнение. Но попробуем взглянуть на это уравнение немного под другим углом. Точнее, рассмотрим выражение, стоящее под знаком модуля. Напомню, что модуль любого числа может быть равен самому числу, а может быть противоположен этому числу: Но что если изначально потребовать, чтобы это число было положительным?

А значит, его нужно отбросить. План решения уравнений с модулем методом интервалов.

уравнения содержащие выражения под знаком модуля

Найти ОДЗ область допустимых значений уравнения. Найти нули выражений, стоящих под знаком модуля.

Модуль числа

Разбить область допустимых значений уравнения на интервалы. Найти решение уравнения на каждом интервале и проверить, входит ли полученное решение в рассматриваемый интервал. Записать корни уравнения, учитывая все полученные значения переменной.

Таким образом, верное решение уравнения можно оформить в следующем виде: Ошибка допущена при рассмотрении пункта б. Но можно предложить более красивый способ решения. Вспомним о геометрическом смысле модуля. Для решения нашего уравнения нужно найти такие точки на числовой прямой, для которых сумма расстояний до точек 1 и 2 равняется 1.

уравнения содержащие выражения под знаком модуля

Применяя метод интервалов, рассматриваем неравенство на двух промежутках: На самом деле знак выражения под знаком модуля каждый раз нужно определять. Другой способ решения этого неравенства состоит в использовании геометрической интерпретации модуля и переформулировать задание следующим образом: Совершенно ясно, что это значения х лежащие между 2 и 6.

При подготовке Единому государственному экзамену по математике, учителю необходимы такие технологии обучения и организации итогового повторения, которые позволят выпускникам демонстрировать уровень своих знаний не ниже своей годовой отметки. Особое внимание стоит обратить на формулировки вопросов. В заданиях ЕГЭ представлен широкий спектр таких вопросов, например: